Quaternion

William Rowan Hamilton

Le quaternionesPatrono:LinfoX es un extension del numeros real, similar al numeros complexe. Le numeros complexe es un extension del numeros real con le addition del unitate imaginari $i$, tal que $i^2=-1$. Pro le insimul del quaterniones, le symbolo $ℍ$ es usate. Quaterniones es un extension generate de maniera analoge addente le unitates imaginari: $i$, $j$ e $k$ al numeros real e tal que $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$. Illo se pote resumer in iste tabella de multiplication.

*	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$

Ergo, un quaternion es un numero del forma $a+bi+cj+dk$, ubi $a$, $b$, $c$, e $d$ es numeros real univocamente determinate pro cata quaternion.

Le multiplication del quaterniones non es commutative: $ij=k$, $ji=-k$, $jk=i$, $kj=-i$, $ki=j$, $ik=-j$. Le quaterniones es un exemplo de corpore asymmetric, un structura algebric similar a un corpore, sed non commutative in le multiplication. Le multiplication es associative e tote quaternion non nulle possede un unic inverso. Illos forma un algebra associative 4-dimensional super le numeros real e le numeros complexe forma un subinsimul de illo, le quaterniones non forma un algebra associative super le numeros complexe.

Le valor absolute de un quaternion $z=a+bi+cj+dk$ remane definite per $|z{|}^2=a^2+b^2+c^2+d^2$

Usante le function distantia definite como $d(z,w)=|z-w|$, le quaterniones forma un spatio metric e tote le operationes arithmetic es continue.

Etiam, on ha que $|zw|=|z||w|$ pro qualcunque quaterniones $z$ e $w$.

Usante como norma le valor absolute, le quaterniones conforma un algebra de Banach real.

Le insimul del quaterniones de valor absolute $1$ forma un sphera 3-dimensional $S_3$ e un gruppo (includente gruppo de Lie) con le multiplication. Iste gruppo actua, per medio de conjugation, super le copia de ${ℝ}_3$ constituite pro le quaterniones con su parte real equal a $0$. Il non es difficile verificar que le conjugation pro un quaternion unitate de parte real $\cos t$ es un rotation de angulo $2t$ con le axe de gyro in le direction del parte imaginari. Ergo, $S_3$ constitue un copertura duple del gruppo $SO(3)$ de matrices orthogonal $3\times 3$ de determinante 1; es isomorphe a $SU(2)$, le gruppo de matrices $2\times 2$ complete unitari e de determinante unitate.

Pro plus detalios super le rotation in le spatio per medio del quaterniones, vide quaterniones e rotation in le spatio

Si $A$ es le insimul de quaterniones del forma $a+bi+cj+dk$ ubi $a$, $b$, $c$ e $d$, illo es o tote numeros integre o tote numeros rational, con numerator impare e denominator 2. Le insimul $A$ es un anello e un reticulo. Il ha 24 quaterniones unitari in iste anello e illos es le vertices de un polytopo regular, nominate $\{3,4,3\}$ in le notation de Schlafli.